By Prof. Dr. Rainer Hettich, Dr. rer. nat. Peter Zencke (auth.)

ISBN-10: 3322931080

ISBN-13: 9783322931085

ISBN-10: 3519020637

ISBN-13: 9783519020639

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Der gewählte Ansatz hat den Vorteil, daß die gesamte Theorie im Rn entwickelt werden kann, ähnlich wie in den wegweisenden Arbeiten von C h a r n e Kor t a n e k [17] [18], S, C 0 0 p e r und (vgl. auch [39] und die ausführliche Darstellung in [38]). [69],[59] [70]) oder gehen von dem dualen Problem als allgemeinem Momentenproblem aus (vgl. 3 [64]). schließlich zeigen wir, wie ein semi-infinites Problem lo- kal durch ein nichtlineares, finites ersetzt werden kann, dessen Restriktionen allerdings nur implizit definiert sind.

Empfehlenswert ist dies aber nur, wenn $ differenzierbar ist, was für die L1- und Chebyshev-Approximation nicht zutrifft (vgl. das Beispiel unten), wohl aber für die L2Approximation, die deshalb üblicherweise im Rahmen der finiten Optimierung behandelt wird (vg 1. etwa [ 4 )). Es ist einfach zu zeigen, daß 1ji im Falle der linearen Approximation konvex ist. a. bei nichtlinearer Approximation nicht mehr gilt, entnimmt man etwa Fig. 13, welche Höhenlinien von $ zeigt für das Problem, die Funktion f(x) B = (1+x)-1 in = [0,1) in der Cheby- shev-Norm zu approximieren durch ein a aus der Familie 2 Die Knicke in den Höhenlinien zeigen, daß 1ji längs gewisser im Minimalpunkt zusammenlau- ot:::========:;:::=====~ pl fender Kurven nicht differenzierbar ist.

Sk+1 sei K = K( ~ K(S), und nach Induktionsvoraussetzung (s1, ... ,sk}) abgeschlossen. Für O,,"x=lim (Xi +ui~+1)' xi E K, u i 2 0 ist X E K(S) zu zeigen. A. die Existenz von lim u i = u 2 0 und damit von lim xi = x E K an- nehmen. Es gilt dann x = ~ + us k + 1 E K(S). A. h. - sk+1E K im Widerspruch zur Annahme über sk+1' b) Für 0 "" x = lim xi,xiE K(S) ist x E K(S) zu zeigen. Nach dem Satz vOn C a r a t h e0 d 0 r y können wir Darstellungen 59 n L u~s~ j=1 lim i-= s~ L 1. A. 11 mit i-= n j L A j=l ~ u j die Existenz von j=l i = 1 voraussetzen.

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Numerische Methoden der Approximation und semi-infiniten Optimierung by Prof. Dr. Rainer Hettich, Dr. rer. nat. Peter Zencke (auth.)


by Charles
4.2

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