By Uwe Feiste, Karl Manteuffel, Jürgen Flachsmeyer

ISBN-10: 3322006794

ISBN-13: 9783322006790

ISBN-10: 3663122360

ISBN-13: 9783663122364

Wissenschaft und Kunst sind wesentliche Komponenten der menschlichen Kultur, die sich beide ursprunglich unabhangig von einander entwickelten. Doch nach und nach kam es in immer megastar kerem Masse zu Verbindungen, zu gegenseitiger Beeinflussung, wo bei die geometrische Figur eine wichtige Brucke fl.ir die Beziehungen zwischen Mathematik und Kunst conflict. was once kann die Mathematik in der Kunst leisten, speziell in der Or namentik? Mathematik erforscht konkrete und abstrakte, endliche und unendliche Strukturen. Ornamente sind durch ihren weitestge hend symmetrischen Aufbau strukturiert. Die Herausarbeitung sol cher Zusammenhange - vom Standpunkt der Geometrie und der Gruppentheorie aus - ist das Anliegen dieses Buches. Wir haben unsere Ausfuhrungen so angelegt, dass guy ihnen unter Benutzung der Schulkenntnisse folgen kann und zwei verschiedene Lesergruppen angesprochen werden: Leser, die sich vorrangig den Figuren, Ornamenten sowie deren Strukturen widmen und daran Freude haben, ohne in alle mathematischen information der Betrach tungen einzudringen, und naturlich mathematisch interessierte Le ser. Ihnen bietet sich gewissermassen eine bebilderte Einfuhrung in die Gruppentheorie, die anhand von Symmetrieabbildungen ent wickelt wird. Aus dem Schulunterricht bekannte Kongruenzbe trachtungen werden hier durch reiches Beispielmaterial erganzt. Wir wunschen unseren Lesern viel Freude und Erfolg! Abschliessend mochten wir all jenen danken, die uns mit Rat und Tat bei der Abfassung des Buches behilflich waren. Besonderer Dank gilt Herrn J. WEISS, Leipzig, auf dessen Anregung das Buch geschrieben wurde. Greifswald/Magdeburg, im Marz 1989 JURGENFLACHSMEYER UWE FEISTE KARL MANTEUFFEL Inhalt 1. Die Symmetrie als kunstlerisches und mathe- tisches second . . . . . . . . . . . . . . . . . . five . . .

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Das soll jetzt allgemein für eine beliebige Gruppe G = ( G, · ) erläutert werden. Dem Rechensystem G liegt eine Menge G von "Rechenelementen" zugrunde. Das können Zahlen oder auch Bewegungen, Transformationen, Permutationen oder anderes sein. In G wird vermöge einer "Multiplikation" nach den in den Gruppenaxiomen verlangten Regeln gerechnet. Eine nichtleere Teilmenge H und G wird bzgl. der von G herrührenden Operation gerrau dann selbst eine Gruppe, wenn gilt: 1) Mit je zwei Elementen x, y aus H gehört auch deren Produkt xy zu H.

Wir wählen die erste Spiegelgerade g 1 der Drehung da·, M' parallel zu g. Dann ist die Spiegelgerade h vo~h,Xli gleich g 2, ~ der Verschiebungspfeil wird als Summe von RS mit dem Pfeil CD von g nach g 1 erhalten. CD ist doppelt so lang wie die Entfernung von g zu g 1• 13. Wie der Fall 4 dem Fall 2 entspricht, so entspricht Fall 13 dem Fall 5. 14. Hier haben wir die gleiche Situation wie in 8. b) erfolgt die Drehung nicht in Richtung von g nach g', sondern von g' nach g. 15. Es handelt sich um die gleiche Situation wie in 12.

Defmition (Verschiebung, Translation): Eine Transformation v: E---? E der Ebene auf sich heißt Verschiebung genau dann, wenn flir je zwei beliebige Punkte P und Q die Pfeile PP' und QQ' gleich sind. Dabei bezeichne P' das Bild von P und Q' das Bild von Q. Erweist es sich als notwendig, den Pfeil anzugeben, der eine Verschiebung v : E---? E charakterisiert, so schreiben wir ihn als Index zum v. Zwei Verschiebungen heißen gleich, wenn die Pfeile, durch die sie bestimmt sind, gleich sind, d. 19 gilt vsr = vuv.

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Mathematik und ornamentale Kunstformen by Uwe Feiste, Karl Manteuffel, Jürgen Flachsmeyer


by Brian
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